Kecukupan Sampel Survei Hitungan Cepat Pilpres 2019

Sumber Gambar: Google

Sebagian pembaca hasil Hitung Cepat (quick count) Pilpres 2019 mempertanyakan kecukupan sampel TPS. Pertanyaan ini muncul karena tidak tersedanya di ruang publik informasi yang memadai mengenai rancangan sampel survei yang bersangkutan. Terkait dengan isu ini penulis, sebagai ilustrasi, hanya mengetahui bahwa besar sampelnya sekitar 2,000 TPS (=n) yang diambil dari sekitar 800,000 TPS (=N).

Pertanyaan risetnya  “Apakah sampel n itu sudah mewakili populasi N itu?” Pertanyaan semacam mencerminkan suatu keraguan positif yang layak dihargai. Penulis yakin para perancang survei Hitung Cepat sudah mengkaji masalah ini. Walaupun demikian, keyakinan agar mantap, seperti nasehat para  ustaz, perlu diuji. Tulisan ini dimaksudkan untuk keperluan uji semacam itu.

Soal Heterogenitas

Pertanyaan riset di atas sebenarnya tidak tepat. Kenapa? Karena penetapan besar sampel tidak dipengaruhi oleh besar populasi; kalau pun ada, pengaruhnya sangat kecil sehingga bisa dan biasa diabaikan. Ilustrasi mengenai pengaruh ini disajikan di bawah. Untuk sementara dapat dikatakan bahwa sampel tidak harus that big, tetapi big enough untuk mewakili populasi, ada batas minimum.

Kenapa sampel tidak harus selalu besar? Penjelasannya sederhana. Ketika memeriksakan diri  untuk mengetahui kadar gula darah Anda, misalnya, Anda cukup memberikan kurang dari setetes darah Anda, terlepas dari apakah Anda tergolong gemuk-basah atau kurus-kering. Ya kan? “Kurang dari setetes darah” sudah sudah mewakili keseluruhan darah yang mengalir dalam tubuh Anda. That is the beauty of sampling.

Tapi nanti dulu. Contoh di atas mengasumsikan homogenitas populasi. Artinya, dari bagian badan mana pun darah diambil, hasilnya diasumsikan sama saja. Jika dianalogikan dengan Pilpres, teknik ini mengasumsikan kesamaan kecenderungan preferensi para pemilih di semua TPS. Jadi, preferensi pemilih di Kota Bandung atau Kota Padang, misalnya, diasumsikan sama dengan Kabupaten Sidoarjo atau Kota Kupang.

Asumsi semacam ini layak dipertanyakan. Demikian halnya dengan teknik “pengambilan acak sederhana” (Simple Random Sampling, SRS) yang mengasumsikan homogenitas populasi.

[Selain itu, dalam dunia nyata teknik SRS ini bisa sangat tidak nyaman dan sangat mahal. Bisa saja dari 2,000 TPS yang terpilih, lebih separuh menyebar di kawasan timur Indonesia termasuk Papua.]

Apa hubungannya dengan besar sampel? Hubungannya sederhana: semakin heterogen suatu populasi, semakin besar kebutuhan akan sampel yang besar. Jadi, hubungan antara keduanya berbanding lurus.

Proporsi dan Koefisien Variasi

Perhitungan besar sampel minimal (=n) menghendaki antara lain agar perencana sampel menetapkan indikator utama yang ingin dihitung, memperkirakan angkanya (=p), dan memperkirakan koefisien variasinya (=CV). Jadi logikanya agak berputar. Tujuan survei adalah menghitung angka proporsi populasi (=P), tetapi belum apa-apa sudah diminta macam-macam. Tetapi itulah rumusnya: n berbanding lurus dengan p dan CV.

Untungnya, angka-angka perkiraan itu tidak dituntut sangat cermat, sejauh masuk akal. Sebagai ilustrasi, jika indikator utama yang ditetapkan adalah proporsi suara Merah[1] (=p) dan angka perkiraannya 0.5 atau 50%, maka cara penetapan itu boleh dibilang excellent. Kenapa? Karena: (1) sederhana, (2) terkesan netral, dan (3) berdasar. Apa dasarnya? Hasil Pemilu 2014 yang menghasilkan angka sekitar itu.

Cara itu selain excellent sebenarnya juga cerdas. Kenapa? Karena dengan menetapkan p sebagai indikator maka variannya sudah dapat diketahui sejak dini yaitu p*(1-p). Juga dengan menetapkan p=0.5 maka koefisien variannya (=CV) relatif mudah diingat yaitu 2:

p/[p*(1-p)] = (0.5)/ [(0.5)*(1-0.5)] = 2

Komponen Pembentuk Sampel

Menurut salah satu buku pintar[2], ada lima faktor yang mempengaruhi besar sampel (n). Ini daftarnya:

  1. Tingkat keyakinan (confidence interval) yang diukur dengan skor z dalam distribusi normal,
  2. Efek rancangan sampel (=deff), dan
  3. Perkiraan awal indikator utama, misalnya, proporsi yang memilih Merah (=p).
  4. Margin kesalahan (margin error, e)
  5. Angka respons (response rate: RR)

Dua faktor yang terakhir dalam daftar di atas  mempengaruhi n secara berbanding terbalik sedangkan yang lainnya berbanding lurus. Faktor yang ke-2 (deff) agak sulit dijelaskan dalam tulisan singkat dan bahkan diakui “sulit diputuskan”[3]:

It is much more difficult to decide what the design effect should be when a cluster sample design is planned and there is no prior knowledge of the effect of clustering on the sampling variance. In this case, a design effect of at least 2 might be used, although the design effect of a highly clustered design may be as high as 6 or 7.1 for a stratified sample design and deff ≥ 1 for a cluster sample design.

Contoh penghitungan

Uraian di atas bagi sebagian mungkin terkesan jelimet walaun sebenarnya tidak, apalagi jika diilustrasikan melalui contoh konkret dan secara bertahap. Berikut disajikan ilustrasi yang dimaksud menggunakan skenario yang dibuat serealistis mungkin.

Diketahui: Total TPS (=N)= 800,000.

Pertanyaan: Berapa jumlah minimal TPS yang diperlukan untuk mengintimasi proporsi yang memilih Merah (=P)?

Diasumsikan: (a) Tingkat keyakinan (confidence interval): 95% atau z=1.96, (b) e= 5%, (c) RR=95%, (d) deff=2, dan (e) p=0.5.

Jawab:

Penetapan sampel awal (=n1):.

n1= [(z*z)*(p*(1-p))]/(e*e)

= [(1.96*1.96)*(0.5*0.5)]/(.05*.05)

= 384.16

Penyesuaian (adjustment) karena relativitas besar sampel terhadap populasi (=n2):

n2 = n1 * [N/ (N+n1)]

= 384.16 * [800,000 / (800,000+384.16)]

= 383.98

Penyesuaian karena pengaruh rancangan sampling (=deff) (=n3):

n3 = deff * n2

= 2*383.98

= 768.32

Penyesuaian arena RR (=n4):

n4 = n3/0.95

= 808.75

Itulah angka akhir, 800 TPS. (Pada tahapan sekarang sudah boleh pembulatan agar kelihatan elok.) Kesimpulannya ini:

Sampel 2,000 TPS sudah lebih dari cukup bahkan berlebihan untuk mewakili 800,000 TPS.

Tapi nanti tunggu dulu. Kesimpulan itu kondisional:

Angka 800 adalah angka minimum untuk satu domain estimasi. Jadi, jika “nian ingsun” hanya untuk estimasi nasional maka kesimpulan di atas berlaku. Tapi jika ingin estimasi provinsi maka kesimpulan tidak berlaku karena kebutuhan sampel menjadi (800*34) atau sekitar 27,000.

Diskusi di atas terakit dengan besar sampel (sample size). Bagaimana dengan alokasi sampel? Ini isu lain yang lebih kompleks tetapi dapat tergambar dalam daftar pertanyaan berikut:

  1. “Apakah alokasi sampel sudah memenuhi prinsip acak?”
  2. “Adakah jenjang dalam pemilihan sampelnya?”: (a) “Ujug-ujug milih TPS?”, atau (b) “Dipilih dulu kab./kota, kecamatan, lalu desa?”, atau (c) “Bagimana?”
  3. “Jika ada jenjang, apakah probabilitas terpilihnya setiap jenjang sudah memperhitungkan weighting?”
  4. “Apakah estimasi akhir mempertimbangkan weighting?”

Pusing toh? Yo wis!

[1] Mengenai simbolisme Merah dan Hijau lihat INI.

[2] Statistics Canada (2010), Survey Methods and Practices

[3] Ibid, halaman 168.

Membaca Hasil Hitung Cepat Pilpres

Sumber gambar: Google

#tak-beda-nyata, #rada-rada bodoh, #justifikasi

Tak-Beda-Nyata

Pemilu Indonesia 2019 baru usai. Proses pelaksanaannya relatif mulus. Ini tentu berkat rahmat-Nya yang patut disyukuri.

Hasil resminya baru akan diketahui dalam hitungan minggu. Tapi gambarannya, khususnya Pilpres, dapat diketahui secara lebih dini berdasarkan hasil hitungan cepat (quick count).

Menariknya, angka hitungan cepat yang beredar secara keseluruhan tidak-beda-nyata dengan hasil Pemilu 2014: Paslon 1 (katakanlah Merah) memperoleh angka sekitar 55%, sisanya untuk Paslon 2 (Katakanlah Hijau).

Tidak hanya itu. Sebaran provinsi juga tak-beda-nyata. Sebagai ilustrasi, JaBar yang pada 2014 Hijau, 2019 juga Hijau; kepekatan kehijauannya juga tak-beda-nyata. Sebagai ilustrasi lain, kepekatan Merah Jatim 2014 dan 2019 juga tak-beda-nyata.

[Aumsi penulis, fakta ini  digunakan oleh penyelenggara Survei Hitung cepat untuk menghitung probability terpilihnya suatu TPS serta digunakan untuk menghitung weighting . Wallahualam dalam praktiknya.]

Bagaimana menafsirkan fakta di atas? Itu bisa dimaknai sebagai “kesuksesan” atau “kegagalan” bagi Merah maupun Hijau. Tergantung cara pandang: Apakah air yang mengisi separuh gelas “tinggal separuh” atau “masih separuh” (bagi yang optimistis). Maksudnya ini: Merah sukses mempertahankan kemerahan wilayah Merah tetapi gagal memerahkan wilayah Hijau; analog dengan Hijau.

Kondisi ini sangat kontras dengan pengalaman Amerika Serikat, misalnya, di mana Hijau (Demokrat) mampu menghijaukan sebagian wilayah Merah sehingga statusnya di Kongres berubah dari minoritas menjadi mayoritas.

Apakah artinya bagi Indonesia? Tim pemenangan kurang berhasil? Kampanye Merah maupun Hijau tidak efektif?

Wallahualam. Penulis tidak punya kompetensi untuk menganalisis lebih jauh. Kompetensi penulis adalah membaca hasil Hitungan Cepat.

Rada-rada Bodoh

Jika seorang statistisi disuguhi angka hanya satu survei 55% untuk Merah dan 45% untuk Hijau maka dia tidak dapat menyimpulkan siapa pemenangnya. Bodoh kan? Padahal definisi menang dalam sistem demokrasi sangat jelas: peraih angka >=50%+1 suara.

Jika didesak untuk menyimpulkan maka statistisi akan balik tanya. Itulah susahnya berhubungan dengan statitisi. Pertanyaannya kira-kira begini: “Bapak mau mentoleir batas kesalahan (margin error, ME) berapa persen? 1%, 10%, 20% atau berapa%?:

  • Jika Bapak mentolelir ME <=10% , maka yang menang adalah Merah; tetapi
  • Jika Bapak mentolelir angka ME =20% (apalagi lebih besar), maka pemenangnya tidak ada.

Pusing kan? Itulah salah satu the beauty of statistics.

Bagi statistisi ragam angka adalah “berkah”. Juga bagi statitisi, setiap hasil survei pasti (haqqul yaqiin?) mengandung kesalahan (errors). Jadi tergantung kesediaan menerima toleransi kesalahan.

Dalam pandangan statistisi, angka 55%, dengan ME 20%, misalnya, perlu dibaca sebagai himpunan angka yang terletak antara 44 dan 66, 44%<55%<66%. Apa artinya? Rentang angkanya mencakup angka milik Hijau yaitu 45%. Apa kesimpulannya? Dua angka 45% dan 55% sebenarnya secara statitik tidak-beda- nyata (statistically insignificant).

Justifikasi

Pola berpikir statistik ini sebenarnya yang dapat digunakan untuk menjustifikasi keputusan UU pemilu untuk menggunakan “hasil perhitungan angka manual seluruh suara.

Pola berpikir statistik semacam ini menjustifikasi UU pemilu yang mengamanatkan  agar untuk memperoleh angka resmi digunakan hasil perhitungan seluruh suara secara manual.

Pola pikir yang sama sebenarnya dapat juga digunakan untuk memberikan penilaian bahwa bermacam-macam hasil hitungan cepat sebenarnya tidak beda secara statitik; robust, kata orang statistik.

Tetapi bagi sebagian ada yang mengganggu. Ini terkait dengan ketetaan penerapan kaidah statistik dalam merancang survei:

  • Apakah penetapan jumlah sampel (2000-an?) sudah mempertimbangkan berbagai faktor termasuk antisipasi response rate, antisipasi besarnya variasi jawaban (CV) dan efisiensi relatif metodologi yang diambil (Deff.)? ]

[Yang terakhir ini berlaku jika bukan Rancangan Samepl Sedehana (SRS) digunakan sebagaimana dikalim CSIS. Jika SRS, apakah asumsi heterogenitas wilayah –dalam hal kecenderungan memilih– dipertimbangkan? Apakah efisiensi biaya diperhitungkan?]

  • Apakah sampel TPS sudah memenuhi jumlah minimal yang diperlukan untuk membuat suatu kesimpulan statistik? Pada level nasional? Atau “berani” estimasi provinsi?
  • Apakah prinsip acak digunakan dalam setiap tahapan pemilihan? [Jika tidak maka kesimpulan statitik tidak dapat ditarik.]
  • Apakah hasil Pemilu 2014 dimanfaatkan untuk membangun kerangka sampel?

Jika tertarik mengenai jawaban terhadap pertanyaan-pertanyaan ini silakan baca tulisan berikutnya. (Entah kapan sempatnya?)

Basmalah: Suatu Analisis Kuantitatif

Istilah basmalah merupakan kependekan dari ‘bismillah al-rahman al-rahiem’, ayat pertama dari surat pertama al-Qur’an (al-Fatihah). Basmalah terdiri dari huruf-huruf hijaiyah (huruf dalam Bahasa Arab) yang masing-masing memiliki nilai. Lafadz bismi, misalnya, terdiri dari tiga huruf: b (ba), s (sin) dan m (mim), yang masing-masing memiliki nilai 2, 60 dan 40. Total huruf dari lafadz ini, dengan demikian, adalah 2+60+40=102. Tabel 1 mendaftar nilai dari masing-masing huruf hijaiyyah yang akan kita gunakan dalam analisis. Daftar itu konon sama dengan sistem nilai abjad Rumawi.

Karena memiliki nilai inilah maka analisis kuantitatif ayat a-Qur’an (tidak hanya basmalah) dimungkinkan dan nyatanya telah banyak yang melakukan[1]. Tulisan ini merupakan hasil kajian beberapa literatur yang relevan dan diharapkan dapat membantu mengapresiasi basmalah –seperti halnya ayat-ayat suatu kitab suci (termasuk al-Qur’an)– sebagai wahyu dalam arti berbasis inspirasi langsug[2] dari Yang_Maha_Tinggi, serta memiliki karakter sakral (sacred). Istilah sakral di sini mengacu pada apa yang diungkapkan Schuon (1998:45)[3]: sesuatu yang tersambung dengan tatanan transenden, memiliki karakteristik kepastian yang absolut, dan di luar nalar dan kendali pikiran manusia biasa.

… sacred which in the first place is attached to the trancendent order, secondly possesses the character of absolute certainty, and, thirdly, eludes the comprehension and control the ordinary human beeing.

tab1_basmalah

Secara sederhana komposisi basmalah dapat dilihat sebagai gabungan dari empat lafadz: bismi (b/s/m), allah (a/l/l/h), al-rahman (a/l/r/h/m/n), dan al-rahim (a/l/r/h/i/m). Kita memahami makna masing-masing komposisi basmalah itu tetapi apa yang dikemukakn Schuon[5] tampak sangat kuat-padat dan inspirasional sehingga layak kutip:

Allah: Prinsip Tertinggi sejauh ia memuat segala sesuatu. Misteri mengenai ketuhanan.

Al-Rahman: Prinsip Tertinggi dalam sifat-sifatnya yang ingin menampakkan Ketuhanannya, keindahannya, aksih sayangnya, sejauh itu adalah kekuasaan Tuhan “sebelum” penciptaan dunia. Misteri mengenai Ketuhanan intrinsik.

Al-Rahim: Prinsip Tertinggi sejauh ia memanifestasikan Ketuhanannya “setelah” penciptaan Dunia dan segala sesuatu di dalamnya. Misteri mengenai Ketuhanan ekstrinsik.

Misteri Angka 19

Berdasarkan Tabel 1 kita bisa melihat bahwa huruf yang menyusun lafadz basmalah berjumlah 19 dan ini merupakan penjumlahan dari 3+4+6+6. Seperti yang akan kita lihat nanti, angka 19 ini terkesan “misterius”[4] dan tampak sebagai faktor kunci dalam analisis kuantitatif sistem basmalah (bahkan dalam sistem al-Qur’an secara keseluruhan). Berikut ini disajikan lima fakta relevan terkait dengan angka misterius itu:

Fakta-1: Jumlah surat dalam al-Qur’an, mulai dari al-Fatihan dampai al-Naas, berjumlah 114. Angka ini merupakan kelipatan angka 19: 114=19×6;

Fakta-2: Basmalah tercantum dalam setiap surat, muncul dua kali dalam Surat al-Naml (ayat awal dan ayat ke-30), tetapi tidak muncul sama-sekali dalam Surat al-Baraah. Basmalah sebagai awal dari Surat tak_bernomor kecuali Surat ke-1 (al-Fatihah). Dengan demikian, jika mengabaikan yang tak_bernomor dan mengingat fakta-1, maka total kemunculan basmalah adalah 114 kali: 114=19×6;

Fakta-3: Lafadz Allah, tanpa memperhitungkan basmalah dalam setiap awal surat, tercantum dalam al-Qur’an sebanyak 2,698 kali: 2,2698=19×142;

Fakta-4: Lafadz al-Rahman yang dinisbahkan langsung kepada Allah swt tercantum sebanyak 57 kali: 57=19×3; dan

Fakta-5: Lafadz al-Rahiman yang dinisbahkan langsung kepada Allah swt (sehingga tidak termasuk ayat ke-128 Surat ke-9) tercantum sebanyak 114 kali: 114=19×6.

Peratanyaan retrospektif: Apakah relasi angka-angka atau persamaan dalam fakta 1-5 di atas kebetulan atau random? Seperti yang akan kita lihat nanti, kemungkinan kebetulan dalam persamaan semacam itu mendekati nol.

Misteri Angka 19 Berlanjut

Untuk mendalami misteri angka 19 lebih lanjut kita perlu tabel pembantu yang menyajikan proses dan hasil artimatika sederhana terhadap komposisi huruf yang menyusun basmalah. Tabel 2 dimaksudkan untuk tujuan itu dan akan segera kita analisis[6]. Tetapi sebelumya kita perlu menyisipkan catatan singkat mengenai tabel itu.

Tiga kolom pertama dalam tabel itu tampak jelas dengan sendirinya. Proses perhitungan angka-angka dalam Kolom (5)-(7)tampaknya juga jelas. Yang mungkin perlu penjelasan tambahan adalah Kolom ke-4 dan ke-8:

Kolom ke-4 diperoleh dari akumulasi kolom ke-3: 3 (baris ke-1= 3+0), 7 (baris ke-2= 3+7), 13 (baris ke-3=7+6), dan 19 (baris ke-4=13+6).

Prosedur yang sama berlaku untuk Kolom ke-8 tetapi menggunakan kolom yang berbeda sebagai basis perhitungan yaitu Kolom ke-6.

tab2_basmalah

Sekarang kita siap untuk menaganlisis Tabel 2.

Dalam tabel itu kita dapat melakukan berbagai permainan perhitungan dan bisa mengamati paling tidak empat relasi angka angka berikut ini:

  1. Jika kita mengurutkan kolom kolom (1) dan kolom (3) maka kita sampai kepada angka 1324364 Angka ini terkesan acak (random) tetapi ternyata tidak; ia merupakan kelipatan dari angka 19: 13,243,646 = 19 x 697,034.
  2. Jika prosedur yang sama kita lakukan tetapi kali ini mulai dari bawah niscaya kita akan sampai pada angka 46,362,413: 46,362,413 = 19 x 2,440,127.
  3. Jika prosedur 1) kita ulangi tetapi menggunakan kolom (1) dan kolom (7) niscaya kita angka akan memperoleh angka 110,527,033,354,295: 110,527,033,354,295 = 19 x 5,817,212,281,805.
  4. Jika prosedur 1) kita replikasi menggunakan kolom (1) dan kolom (4) niscaya akan menghasilkan angka 1,327,313,419: 1,327,313,419 = 19 x 69,858,601.

Probabilita relasi angka-angka itu bersifat kebetulan atau random hampir nol. Penjelasan singkatnya kira-kira begini:

Secara statistik kita bisa rumuskan semua relasi angka-angka di atas (kecuali yang ke-3) sebagai:

1k2l3m4n = 19 X a

dimana, k, l, m, n dan a angka bulat (tanpa pecahan atau desimal) yang terdiri dari sejumlah digit.

Rumusan itu berarti, di tempat nilai-nilai k, l, m dan n mesti ada suatu nilai yang berkorespondensi dengannya. Menurut simulasi komputer[7], random odds[8] dari persamaan 1 adalah 1 berbanding 189,753; untuk persamaan 1 dan 3 adalah 1:36 milyar; dan untuk tahap 1, 3, dan 4 dikombinasikan, adalah kurang dari 1:6.8 quadrillion (=10 pangkat 15), suatu perbandingan yang sulit dibayangkan kecilnya.

angka2

Sumber: Youtube

Kesimpulan dan Penutup

Sebagai kesimpulan dapat dimeukakan bahwa relasi angka-angka dalam dalam persamaan 1-4, seperti halnya dalam fakta 1-4 sebagaimana dibahas sebelumnya, hampir nol. Dengan perkataan lain, relasi itu hampir pasti ada yang secara intensional bermaksud menciptakannya. Dalam perspektif iman kesimpulan ini mungkin tidak memadai karena masih menyisakan keraguan.

Agar yakin, kita perlu menghapus kata “hampir” dalam kesimpulan itu. Ini sama saja dengan menyatakan bahwa basmalah adalah wahyu dalam pengertian sebagaimana diungapkan oleh Schuon (dikutip sebelumnya dan kita narasikan-ulang): (1) transenden, misteri yang selamanya tidak akan pernah terungkap secara tuntas, (2) kepastiannya bersifat mutlak, dan (2) tidak akan terjangkau sepenuhnya oleh nalar kita.

Sebagai penutup kita berharap kesimpulan di atas dapat membantu kita memahamai dua ayat berikut:

Al-Isra (17:88):

Katakanlah. “Sesungguhnya jika manusia dan jin berkumpul untuk membuat yang serupa (dengan) AlQur’an ini, merek tidak akan dapat membuat yang serupa dengannya, sekalipun mereka saling membantu satu sama lain”.

Al-Kahfi (18:109):

Katakanlah (Muhammad), “Seandainya lautan menjadi tinta untuk (menulis) kalmat-kalimatTuhanku, maka pasti habislah lautan itu sebelum selesai (penulisan) kalimat-kalimat Tuhanku, meskipun Kami datangkan tambahan sebanyak itu (pula)”.

Wallahu’alam bimuraadih ….@

[1] Untuk rujukan dapat diakses, misalnya, http://www.masjidtucson.org/quran/miracle /simplefacts.html, juga http: //eholyquran.com/Quran/LinksPrime/Mathematical Miracles OfQuran.htm

[2] Mengenai inspirasi langsung dapat dirujuk https://uzairsuhaimi.blog/2017/06/10/seri-uzair_on_puasa-al-quran-dan-ahli-kitab/

[3] Schuon, F. (1998), Understanding Islam, World Wisdom.

[4] 19 adalah angka prima (tidak memiliki pembagi) dan unik karena terdiri dari angka terkecil (=1) dan terbesar (=9), semacam alpha (=a) dan omega (=w) dari suatu abjad.

[5] Schuon, F. (2002), Transfigurasi Manusia: Refleksi Antrosophia Perennialis, Penerbit Qalam.

[6] Tabel ini dikembangkan dari artikel yang berjudul “Mathematical Miracles of Quran” dalam http://eholyquran.com/ Quran/ LinksPrime /MathematicalMiraclesOfQuran.htm

[7] Lihat http://eholyquran.com/Quran/LinksPrime/MathematicalMiraclesOfQuran.htm

[8] Istilah odds sangat teknis sehingga sulit dijelaskan secara singkat. Walaupun demikian, ia secara sederhana dapat diartikan sebagai perbadingan antara jumlah kasus random (=a) dengan jumlah kasus tidak random (=b). Ini berbeda dengan probabilita yang diperoleh dari a/(a+b).